Kmitové módy

Proč najednou v části vlnění hovoříme o módech? Když se podíváme na kmitové módy reálného tělesa (nebo řady oscilátorů), zjistíme, že je to v zásadě totéž, jako stojatá vlna na daném tělese. Kmitový stav tělesa určité frekvence nazveme kmitovým módem tělesa.

Obr. 1: Hráč na zvony

Struny a tyče

Nejjednodušší reálný objekt, který si ke studiu můžeme vybrat je struna. Struna je jednodimenzionální objekt, kterým se šíří příčné vlnění. Můžeme provést jednoduchý pokus. Rozezníme strunu nějakého hudebního nástroje. Aby strunu bylo možné rozkmitat a aby zněla je nutné, aby byla upevněna na obou koncích a mezi těmito pevnými konci musí být struna napjatá. Na koncích struny tedy musí vzniknout uzel stojatého vlnění. Rozezníme-li strunu, můžeme si všimnout, že s největší amplitudou kmitá místo v polovině délky struny. Co se stane, když v tomto místě vynutíme uzel stojaté vlny, například tím, že v tomto místě strunu lehce přidržíme (nebo podepřeme)?

Obr. 2: Kmitové módy struny

Stejný pokus můžeme zopakovat s vynucením uzlů v jiných místech struny. Zajímavé situace znázorňuje obrázek 2. Kmitové módy tvoříme tak, že na strunu skládáme čtvrtiny funkce sinus dané vlnové délky tak, aby byly splněna podmínka nulové výchylky na koncích. Poměrně snadno lze vynutit uzly kmitání ve jmenných zlomcích délky struny. Při vynucení uzlu v polovině délky struny bude struna kmitat s poloviční vlnovou délkou oproti volné struně stejných parametrů. Při vynucení uzlu ve třetině struny bude struna kmitat s třetinovou vlnovou délkou oproti základnímu módu a tak dále. Co bude platit pro frekvenci kmitání?

Mezi vlnovou délkou a frekvencí platí vztah vyplývající z definice vlnové délky, sice \(v = \lambda \cdot f\). Nabízí se otázka o jaké rychlosti šíření tu vlastně hovoříme, pokud studujeme stojatou vlnu. Zde si musíme uvědomit, jak stojatá vlna vzniká. Stojatá vlna vznikne složením dvou postupných vln téže frekvence šířících se proti sobě. Ve vztahu vystupuje rychlost těchto postupných vln, tedy rychlost šíření vlnění v materiálu, z něhož je daná struna vyrobena.

Platí-li, že vlnová délka druhého módu je poloviční oproti vlnové délce základního módu, můžeme dosadit do vztahu \(v = \lambda \cdot f\) následující rovnost \(\lambda_2 = \frac{1}{2} \lambda_1\). Platí:

\[\frac{v}{f_1} = \lambda_1 \quad \frac{v}{f_2} = \lambda_2\]

Rovnice dáme do poměru:

\[\frac{f_2}{f_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \quad \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 2\] \[f_2 = 2 f_1\]

Vidíme, že druhý mód má oproti prvnímu poloviční vlnovou délku, a tedy dvojnásobnou frekvenci. Třetí mód bude mít frekvenci trojnásobnou, čtvrtý čtyřnásobnou a tak dále.

Nabízí se dále otázka, jak souvisí délka struny s vlnovou délkou výsledného stojatého vlnění. Vlnová délka stojaté vlny základního módu kmitů struny je dvojnásobkem délky struny (vzdálenosti mezi místy, kde je struna uchycena). Vlnová délka kmitající struny je přímo úměrná jmennému zlomku její délky, který je dán příslušným kmitovým módem. Frekvence kmitající struny je její délce úměrná nepřímo (proč?).

Video

Victor Wooten využívá kmitových módů strun své baskytary.

Obdobně lze uvažovat o kmitání tyče pevně uchycené na jednom konci (například u zábradlí), nebo o kmitech zavěšené tyče s oběma konci volnými (větrná zvonkohra). Na těchto příkladech si ukážeme, jak dospět k rozložení výchylky stojaté vlny z obrázku 2.

Nejprve popišme situaci. Máme tyč, která má oba konce volné a ve které chceme vybudit vlnění. Pro tuto chvíli nezáleží na tom, zda hovoříme o vlnění podélném, nebo příčném. Oba konce tyče jsou volné, musí v nich tedy být kmitna stojaté vlny. Zároveň na stojaté vlně musí být alespoň jeden uzel (jinak by se tyč pohybovala jako celek). Tento jediný uzel musí být uprostřed tyče. Tento mód kmitů tyče se dvěma volnými konci nazveme základním. Situaci pro příčné vlnění znázorňuje obrázek 3.

Obr. 3: Základní mód, dva volné konce

Vidíme, že vlnová délka základního módu tyče se dvěma volnými konci je stejná jako vlnová délka základního módu tyče (nebo struny) s oběma konci upevněnými. Další módy získáme analogicky. Pro druhý mód musí platit, že na koncích tyče jsou opět kmitny, kmitna je také uprostřed a uzly jsou ve třetinách tyče. Situace je zachycena na obrázku 4.

Obr. 4: Druhý mód, dva volné konce

Zajímavé je srovnání se situací, kdy je jeden konec tyče pevný a druhý volný. V jakém vztahu budou frekvence základních módů kmitů tyče upevněné na obou a pouze na jednom konci? Rozložení výchylky stojaté vlny tyče s jedním pevným koncem dokážeme snadno zkonstruovat. Na pevném konci musí mít vlnění uzel (konec se nehýbe), na volném konci musí být naopak kmitna. Další podmínky na základní mód nejsou kladeny. Vidíme, že vlnová délka tohoto vlnění je dvojnásobná oproti situaci, kdy byly oba konce pevné (nebo oba volné). V jakém poměru budou frekvence?

Obr. 5: Základní mód, jeden konec pevný

Rozdíl ve vlnové délce mezi trubkou s jedním pevným koncem a trubkou s oběma konci volnými si můžete sami vyzkoušet. K pokusu potřebujete časopis se silnější vazbou (za tímto účelem se osvědčil časopis ČiliChilli distribuovaný zdarma v prodejnách Vodafone). Časopis stočíte do trubičky a uchopíte. Pokud na vrchol trubky udeříte dlaní, uslyšíte krátký hluboký tón. S trochou cviku se vám podaří udeřit prsty přes hranu trubky, pak uslyšíte tón poloviční vlnové délky, tedy o oktávu vyšší. Vhodnou volbou délky trubek si můžete sestavit celý hudební nástroj.

Vybuzením některého z kmitových tónu nezakazujeme ostatní. Pouze omezujeme počet možných módů polohami definovaných uzlů a kmiten. Obrázek 6 ukazuje strunu se třemi možnými módy. Všimněte si, že pro všechny tři zakreslené módy je v hnědých bodech uzel stojaté vlny a v oranžových bodech kmitna stojaté vlny.

Obr. 6: Kmitové módy

Desky

Rozložení výchylky stojatých vln při chvění mechanických soustav lze zkoumat i plošně. Těmto výzkumům se jako jeden z prvních věnoval Ernst Chladni (Německý fyzik původem ze Slovenska), jehož jméno obrazce rozložení uzlů na čtvercových deskách nesou. Matematický popis kmitových módu dvojrozměrných (a trojrozměrných) objektů je příliš složitý. Na tomto místě představuje fyzikální experiment velmi dobré východisko.

Klasicky probíhá experiment demonstrující Chladniho obrazce takto: kovovou deskou posypeme lehkým sypkým materiálem (jemný písek, krupice) a poté desku rozezníme smyčcem. Zazní nepříjemný zvuk a zrnka krupice se na desce sesypou do těch míst, která kmitají s nejmenší výchylkou. Zviditelníme tak uzly stojatého vlnění v desce. Obrazce, které si zakreslil Chladni při svých experimentech si můžete prohlédnout na obrázku 7.

Obr. 7: Chladniho obrazce

Zkoumání chvění mechanických soustav, hledání kmitových módů a rozložení výchylky má praktické důsledky například při konstrukci hudebních nástrojů. Ze situace na obrázku 8 si můžeme například udělat představu, kam by nebylo dobré na takovou kytaru umístit akustický snímač.

Obr. 8: Rozložení uzlů na těle kytary při různých frekvencích

video

Chlandiho obrazce na čtvercové desce.

Pokud se vám zdá zvláštní hovořit o kmitání mosazné desky a máte dojem, že výchylka kmitů takové desky musí být velmi malá, prohlédněte si následující video, zachycující úder paličkou do činelu snímaný rychloběžnou kamerou.

video