Dvě proměnné

V minulé kapitole jsme zkonstruovali dva vlnostroje, pozorovali, kdy vlnění vzniká a provedli jsme základní klasifikaci. Nyní se podíváme, jakým způsobem lze vlnění matematicky popsat. Chceme získat časový vývoj výchylky všech oscilátorů podílejících se na daném vlnění. Jistě bude tato výchylka záviset na tom, o který oscilátor se jedná, a také na čase.

Obr. 1: Postupná vlna v čase t

Čím se liší okamžitá výchylka v tomtéž čase v místě \(x_0 = 0\quad (u(0,t))\) a \(x\quad (u(x,t))\)? Amplituda je v obou místech stejná, rovněž tak frekvence. Jediné, v čem se dva různé body v prostoru při vlnění mohou lišit, je fáze. Do bodu x dorazí postupná vlna později.

\[u(0,t) = u_m \sin{(\omega t)}\] \[u(x,t) = u_m \sin{[\omega (t - \tau )]}\]

Zbývá určit, jak velké je zpoždění \(\tau\). Vlna se šíří homogenním prostředím rovnoměrně, pro čas, za který urazí vzdálenost mezi body \(x_0\) a \(x\), platí známý kinematický vztah \(t = \frac{s}{v}\). Konkrétně pro zpoždění \(\tau\):

\[\tau = \frac{x}{v}\]

Kde x je vzdálenost mezi oběma zkoumanými body a v je rychlost šíření postupné vlny v daném prostředí. Výchylka v čase t a místě x je tedy popsána funkcí:

\[u(x,t) = u_m \sin{[\omega (t - \frac{x}{v})]}\] \[u(x,t) = u_m \sin{[2\pi (\frac{t}{T} - \frac{x}{T \cdot v})]}\]

Součin periody vlnění a rychlosti, kterou se šíří v daném prostředí, představuje vzdálenost, do které se vlnění rozšíří za dobu jedné periody. Tuto vzdálenost nazveme vlnovou délkou a označíme \(\lambda\). Ve funkci dvou proměnných - časové a prostorové souřadnice - popisující výchylku vlnění tak vystupuje člen popisující periodicitu v čase (perioda T) a člen popisující periodicitu v prostoru (vlnová délka \(\lambda\)). Celá rovnice pro výchylku vlny v místě x v čase t pak nabývá tvaru:

\[u(x,t) = u_m \sin{[2\pi (\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda})]}.\]

Perioda T má význam periody vlnění v čase, vlnová délka \(\lambda\) popisuje periodu vlny v prostoru. Tuto skutečnost ilustrují následující obrázky:

Obr. 2: Časový vývoj výchylky v místě x s periodou T
Obr. 3: Prostorové rozložení výchylky v čase t s periodou \(\lambda\)

Budeme-li sledovat jeden pevně daný oscilátor, pak závislost výchylky tohoto oscilátoru na čase není ničím jiným, než matematickým popisem kmitů oscilátoru v daném místě. Dále budeme předpokládat, že všechny oscilátory kmitají harmonicky, tedy že jsou vraceny silou, jejíž velikost je přímo úměrná okamžité výchylce oscilátoru. Potom platí, že časová závislost výchylky oscilátoru v místě \(x_0\) je \(u(x_0,t) = A \sin{(2\pi \frac{t}{T} + \varphi)}\).

animace

Obr. 4: Kmity daného oscilátoru

Druhým možným přístupem je pořídit fotografii celé vlny. Tím získáme okamžitou výchylku všech oscilátorů v daném okamžiku \(T\). Výchylka každého oscilátoru v tomto okamžiku v závislosti na jeho poloze \(x\) je dána vztahem \(u(x,T) = A \sin{(2\pi \frac{x}{\lambda} + \psi )}\).

Obr. 5: "Fotografie" vlny

Něco navíc Pokud se vám zdá zvláštní, že je v argumentu popisující vlnění mínus a nevíte, kde se tam vzalo, nahlédněte do rozšíření této kapitoly.


Chceme-li zjistit výchylku vlny popsané rovnicí \(u(x,t) = u_m \sin{[2\pi (\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda})]}\) v čase A, píšeme a provedeme to takto:

\[u(x,A) = u_m \sin{[2\pi (\frac{A}{T} - \frac{x}{\lambda})]}.\]

Chceme-li znát výchylku této vlny v bodě B, provedeme to takto:

\[u(B,t) = u_m \sin{[2\pi (\frac{t}{T} - \frac{B}{\lambda})]}.\]

Chceme-li tedy znát výchylku vlny v bodě B a čase A, dojdeme k tomuto zápisu:

\[u(B,A) = u_m \sin{[2\pi (\frac{A}{T} - \frac{B}{\lambda})]}.\]