Dynamika kmitů

Aby mohlo nějaké těleso vykonávat kmitavý pohyb, musí na něj působit síla, která v každém okamžiku směřuje do rovnovážné polohy. Tato síla zřejmě závisí na tom, jak je těleso od rovnovážné polohy vzdáleno, tedy na výchylce. Nejjednodušší oscilátor, čili kmitající soustava, které nás může napadnout je pružina se závažím. Zapomeňme na chvíli na gravitaci a podívejme se, jaké síly na závaží na pružině v různých okamžicích působí.

Rovnovážná poloha

Obr. 1: Závaží v rovnovážné poloze


Obecná poloha

Obr. 2: Závaží v obecné poloze


Bod obratu

Obr. 3: Závaží v bodě obratu


Něco navícV rovnovážné poloze je výsledná síla pružiny působící na závaží nulový vektor. V bodě obratu na závaží pružina působí největší silou, dál už se těleso nedostane. Jak se závaží vychyluje z rovnovážné polohy směrem k bodu obratu, velikost síly pružiny roste. V obecně zvolené poloze na těleso působí síla směřující do rovnovážné polohy. Jaká je její velikost v závislosti na výchylce závaží z rovnovážné polohy? Síla, kterou je pružina napjata do vzdálenosti x z rovnovážné polohy, je určena Hookovým zákonem:

\[\vec{F} = -k\vec{x}\]

V dalším textu budeme uvažovat pouze kmity, které probíhají na části přímky. Díky tomuto omezení bude další matematický popis snazší - namísto vektorů můžeme pracovat pouze s jejich velikostmi, orientaci působící síly nebo výchylky odlišíme znaménkem.

Síla, která závaží vrací do rovnovážné polohy, působí proti výchylce a její velikost je přímo úměrná výchylce závaží. V takovém případě říkáme, že kmitání je harmonické. Zároveň platí, že každé harmonické kmitání je periodické, ale ne všechny periodické kmity jsou harmonické.

Chceme-li zkoumat pohybový stav závaží hmotnosti m na pružině tuhosti k, vyjdeme z druhého Newtonova zákona. Pro závaží na pružině nabývá tvaru

\[ma = -kx.\]

Závislost výchylky oscilátoru na čase by bylo možné získat z této pohybové rovnice, na to ovšem nemáme postačující matematický aparát. Proto k jejímu odvození využijeme analogie s jiným typem pohybu, což ukáže následující kapitola.