Fáze kmitů

Vztahy pro určení výchylky, rychlosti a zrychlení v daném časovém okamžiky byly zatím odvozeny za předpokladu, že výchylka je v počátečním čase \(t = 0\) nulová a rychlost je kladná. Často se ovšem setkáme s kmity, jejichž počáteční výchylka nulová nebyla. Například pružinu rozkmitáme většinou tak, že ji vychýlíme z rovnovážné polohy a poté pustíme. Co se v popisu kmitů změní, pokud bude počáteční výchylka nenulová?

Obr. 1: Fáze měsíce - slovo fáze používáme v podobném významu i jinde

Elegantně se tomuto problému dá vyhnout tak, že čas začneme měřit prostě jindy. Vybereme si takový okamžik, který vyhovuje našim podmínkám, a to takový, který je co nejblíže před původně zvoleným počátkem měření času. V původním čase t je \(y(t=0) \neq 0\). V novém čase T je \(y(T=0) = 0\) a \(v(T=0) \gt 0\). Čas \(t = 0\) odpovídá novému času \(T = t_0\).

Obr. 2: Zavedení nového času

Popis kmitů v čase započatém v červeném okamžiku nevyhovuje našim podmínkám. Popis v čase započatém v zeleném okamžiku již vyhovuje. Nemohu popsat tyto kmity rovnicí \(y(t) = A \sin{(\omega t)}\), protože \(y(t=0) \neq 0\) tudíž tato rovnice neplatí. Mohu ale tyto kmity popsat rovnicí \(y(T) = A \sin{(\omega T)}\), kde je počáteční podmínka splněna.

Jak se dostat od času T k původnímu času? To můžeme odvodit z obrázku 2. Čas t je vůči času T opožděný (ukazuje méně) o časový interval \(t_0\), platí tedy \(T = t + t_0\) (čas T ukazuje o \(t_0\) více). Kmity tedy mohu popsat takto:

\[y(t) = A \sin{(\omega T)},\] kde \(T = t + t_0\)
\[y(t) = A \sin{[\omega (t + t_0)]}\] \[y(t) = A \sin{(\omega t + \omega t_0)}\]

Součin \(\omega t_0\) nazveme počáteční fáze a označíme \(\varphi_0\). Dále součet \(\omega t + \varphi_0\) nazveme fáze (v daném čase t) a označíme jej \(\varphi(t)\). Počáteční fáze je tak fáze v počátečním čase \)(t = 0)\). Rovnici popisující kmity s nenulovou počáteční fází pak zapíšeme takto:

\[y(t) = \sin{(\omega t + \varphi_{0})}\]

Jakou informaci o kmitech v daném okamžiku nám fáze dává, je lépe vidět z následujícího obrázku. Zachycuje časový záznam dvou kmitání. Tyto kmity se shodují ve frekvenci (tím i v periodě a úhlové frekvenci) i v amplitudě, neshodují se však v každém okamžiku v okamžité výchylce a právě ve fázi.


Obr. 3: Časový záznam kmitů

Popišme kvalitativně zachycené kmity ve vyznačených časových okamžicích. V okamžiku jedna je výchylka modrých kmitů nulová, zrychlení tedy také nulové, rychlost směřuje nahoru a je maximální, fáze modrých kmitů je rovna nule. Výchylka zelených kmitů v okamžiku jedna je kladná, ale není maximální, zrychlení je záporné (směřuje dolů), rychlost směřuje dolů. Fáze zelených kmitů v okamžiku 1 leží v intervalu \((\frac{3}{2}\pi , 2\pi)\). Obdobný rozbor pro ostatní okamžiky proveďte sami.