Skládání vln

Zkoumáme postupné vlnění. V této kapitole se zaměříme na situaci, kdy jedním bodem prostoru procházejí dvě vlny ze dvou různých zdrojů. Sledujeme-li vlnění v daném bodě, sledujeme kmity tohoto bobu. Skládáme li dvě vlny, pak v každém bodě skládáme kmity. Pro skládání vln se také často používá název interference, říkáme, že vlny interferují.

Obr. 1: Skládání vln vln na hladině oleje [zdroj]

Zaměříme opět na postupnou příčnou vlnu šířící se pouze ve směru osy x. Vyberme si jeden daný bod X. Pokud by byl činný pouze zdroj \(Z_1\), kmital by bod X podle vlny popsané výchylkou \(u_1\). Pokud by byl činný pouze zdroj \(Z_2\), kmital by bod X podle vlny popsané výchylkou \(u_2\). Jsou-li aktivní oba zdroje vlnění, jsou výsledné kmity v tomto bodě dány superpozicí kmitů \(u = u_1 (x,t) + u_2 (x,t)\).

Zajímavý výsledek získáme, zaměříme-li se na skládání dvou vln téže frekvence ze dvou různých zdrojů. Obě vlny mají tutéž frekvenci, tím pádem i tutéž vlnovou délku (protože v daném prostředí se vlny téhož typu a téže frekvence šíří toutéž rychlostí). Zdroje vlnění ale nejsou v tomtéž bodě. Vzdálenost bodu X od zdroje vlny \(u_1\) označme \(x_1\), obdobně \(x_2\).

Obr. 2: Skládání vln v řadě bodů, označení

Výsledné vlnění určíme obdobným způsobem jako u skládání kmitání - provedeme superpozici všech výchylek v daném bodě a čase. Skládáme-li v daném bodě harmonické vlny téže frekvence a rozdílných amplitud a fází, bude výsledkem opět harmonická vlna téže frekvence a obecně různé fáze a amplitudy, než vlny dílčí. Pro usnadnění matematických operací zvolíme dvě vlny se stejnou amplitudou. Zvláštní výsledek získáme ve dvou případech.

Kmity daného bodu X na obou vlnách jsou popsány těmito funkcemi:

\[u_1 (x,t) = A \sin{[2\pi (\frac{t}{T} - \frac{x_1}{\lambda })]}\] \[u_2 (x,t) = A \sin{[2\pi (\frac{t}{T} - \frac{x_2}{\lambda })]}\] \[u (X,t) = u_1 (x,t) + u_2 (x,t)\] \[u (X,t) = A \sin{2\pi (\frac{t}{T} - \frac{x_1}{\lambda })} + \sin{2\pi (\frac{t}{T} - \frac{x_2}{\lambda })}\] \[u (X,t) = 2A \sin{\pi (\frac{t}{T} - \frac{x_1}{\lambda } + \frac{t}{T} - \frac{x_2}{\lambda })} \cos{\pi (\frac{t}{T} - \frac{x_1}{\lambda } - \frac{t}{T} + \frac{x_2}{\lambda })}\] \[u (X,t) = 2A \cos{\pi (\frac{x_2 - x_1}{\lambda})} \sin{2\pi (\frac{t}{T} - \frac{x_1 + x_2}{2\lambda })}.\]

Daný bod kmitá harmonicky, jeho amplituda je dána výrazem \(2A\cos{\pi (\frac{x_2 - x_1}{\lambda})}\). Rozdíl \(x_2 - x_1\) nazveme dráhový rozdíl a označíme písmenem d. Mohou nastat dva významné případy.

Pokud vlnění dorazí do bodu X s nulovým fázovým rozdílem, pak budeme skládat v bodě kmity ve fázi. Dráhový rozdíl vln musí být roven celistvým násobkům vlnové délky, neboli sudým násobkům \(\frac{\lambda}{2}\). Tehdy bude výraz \(\cos{\pi (\frac{x_2 - x_1}{\lambda})}\) v absolutní hodnotě roven jedné a výsledná amplituda složené vlny v daném bodě bude maximální.

Obr. 3: Konstruktivní interference

V případě skládání vln různé amplitudy bude v tomto bodě výsledná amplituda dána součtem amplitud dílčích, jak ukazuje obrázek 3. Říkáme, že dochází ke konstruktivní interferenci, v bodě X nastává interferenční maximum. Podmínku pro konstruktivní interferenci a interferenční maximum můžeme zapsat takto:

\[d = 2k \frac{\lambda}{2} = k\lambda\quad ; k = 0, 1, 2, ...\]

Pokud vlnění dorazí do bodu X s fázovým rozdílem rovným lichým násobkům \(\frac{\pi}{2}\), pak budeme skládat v bodě kmity v protifázi. Dráhový rozdíl vln musí být roven lichým násobkům \(\frac{\lambda}{2}\). Tehdy bude výraz \(\cos{\pi (\frac{x_2 - x_1}{\lambda})}\) roven nule a výsledná amplituda složené vlny v daném bodě bude nulová.

Obr. 4: Destruktivní interference

V případě skládání vln různé amplitudy bude v tomto bodě výsledná amplituda dána rozdílem amplitud dílčích, jak ukazuje obrázek 4. Říkáme, že dochází k destruktivní interferenci, v bodě X nastává interferenční minimum. Podmínku pro destruktivní interferenci a interferenční minimum můžeme zapsat takto:

\[d = (2k + 1) \frac{\lambda}{2}\quad ; k = 0, 1, 2, ...\]

V praxi je výhodnější pracovat s dráhovým rozdílem, protože vyplývá z geometrie situace.

Vraťme se nyní k obrázku 1. Jak taková fotografie mohla vzniknout? Hodíme-li do vody kámen, uvidíme na hladině soustředné kružnice. Hodíme-li o kus dál do vody jiný kámen, uvidíme totéž. Hodíme-li však do vody dva kameny (nemusí nutně dopadnout do vody zároveň), uvidíme na hladině situaci z obrázku 1. Vznik interference vlnění ze dvou různých zdrojů zachycuje následující animace. Nejprve vidíme samotnou první vlnu, poté druhou a nakonec jejich interferenci.

animace

Obr. 5: Vznik interference na vodní hladině