Rovnoměrný pohyb po kružnici

V tomto rozšíření se vrátíme k rovnoměrnému pohybu po kružnici. Pokud si touto problematikou nejste zcela jisti, můžete si zde připomenout některé zásadní informace.

Obr. 1: Jiskry odlétají od brusky ve směru tečny

Kdy se bude nějaké těleso pohybovat rovnoměrně? O rovnoměrném pohybu hovoříme, nemění-li se velikost rychlosti tělesa. Kdy bode nějaké těleso zatáčet doleva? Pokud jej tam bude tlačit nějaká síla, tedy pokud výsledná síla působící na těleso bude mít nenulovou složku v tom směru.

Aby se těleso mohlo pohybovat po kružnici, musí existovat síla, která způsobuje stáčení jeho rychlosti. Tuto sílu nazýváme dostředivá síla, protože působí neustále do středu kružnice. Dostředivá síla uděluje tělesu dostředivé zrychlení, které můžeme určit ze druhého Newtonova zákona \(F_d = m a_d\).

Hovoříme o rovnoměrném pohybu a zároveň o zrychlení. Není to protimluv? Vše je v pořádku, dostředivá síla působí kolmo na rychlost tělesa, takže nemění její velikost, ale pouze směr.

Těleso hmotnosti m se tedy pohybuje po kružnici poloměru r rovnoměrně rychlostí o velikosti v. Z definice rovnoměrného pohybu plyne, že za dva stejně dlouhé časové okamžiky těleso urazí stejně dlouhé dráhy. Čas, za který oběhne kružnici právě jednou je tedy jednoznačný, nazveme jej periodou a označíme písmenem T.

Jaký úhel opíše průvodič tělesa za jednotku času? Za dobu jedné periody opíše úhel \(2\pi\) radiánu. Za dobu jedné sekundy tedy \(\frac{2\pi}{T}\) radiánu. Úhel, který opíše průvodič za jednotku času nazveme úhlová rychlost a označíme \(\omega\). Jednotkou úhlové rychlosti je radián za sekundu. Úhlová rychlost je vektrorovou veličinu, její směr je kolmý na rovinu kružnice a její orientace je dána směrem rotace. Nadále budeme hovořit jen o velikosti úhlové rychlosti. Z definice rovnoměrného pohybu vyplývá, že pokud se těleso po kružnici pohybuje rovnoměrně, pak jeho úhlová rychlost nezávisí na čase. Platí:

\[\omega = \frac{2\pi}{T}.\]

Jak souvisí rychlost, kterou se těleso rovnoměrně po kružnici pohybuje s úhlovou rychlostí? Pokud známe význam jednotky radián a víme, že délka oblouku na kružnici o poloměru r příslušného úhlu \(\varphi\) měřeného v radiánech je dána vztahem \(s = r \varphi\), můžeme tuto skutečnost aplikovat dále. Dráha, s kterou těleso urazí za čas t po obvodu kružnice, je \(v t\), úhel \(\varphi\), který tomuto oblouku odpovídá, je \(\omega t\). Dojdeme ke vztahu:

\[vt = \omega t r\] \[v = \omega r\]

Dále můžeme zavést frekvenci f pohybu po kružnici, jako počet otáček, které těleso vykoná za jednotku času. Platí \[f = \frac{1}{T}\].

Aby se těleso o hmotnosti m pohybovalo rovnoměrně po kružnici poloměru r s obvodovou rychlostí v, musí na něj působit dostředivá síla, jejíž velikost je dána vztahem:

\[F_d = m\frac{v^2}{r}\].

Tato síla uděluje tělesu dostředivé zrychlení \(\vec{a_d}\), jehož velikost je dána (z druhého Newtonova zákona):

\[a_d = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r\].

Vraťte se nyní k obrázku 1. Všimněte si, že jiskry od brusného kotouče odlétají ve směru tečny ke kotouči. Určete, kterým směrem se brusný kotouč otáčí.