Časový vývoj výchylky kmitů

Obr. 1: Ruské kolo ve vídeňském Prateru

No obrázku 1 vidíme ruské kolo ve vídeňském zábavním parku Prater. Jaký pohyb budeme pozorovat při pohledu zepředu (jako je na obrázku) a jaký pohyb uvidíme ze strany? Jistě to bude pohyb kmitavý.

Nechejme kmitat těleso na pružině s periodou kmitu T a vedle něj nechme obíhat hmotný bod po kružnici. Kružnice bude mít právě stejný průměr jako je rozkmit pružiny. Hmotný bod se po ní pohybuje takovou rychlostí, že doba jednoho oběhu je právě rovna periodě kmitů pružiny T. Experiment zachycuje následující video.

YouTube

Všimněte si, že se oscilátor s kruhovým pohybem rozcházejí, nemají tedy stejnou periodu. Rozmyslete, jaký vliv má na toto rozcházení přesnější ladění pokusu. Schematicky tento pokus znázorňuje následující animace.

Animace

Obr. 2: Harmonické kmity jako průmět pohybu po kružnici
Animace analogie kmitání a rovnoměrného pohybu po kružnici.

Harmonické kmity pružiny jsou průmětem pohybu po kružnici. Podívejme se nyní na okamžitou výchylku pružiny:

Odvození vztahu pro výchylku

Obr. 3: Výchylka kmitů
Poloha kmitající pružiny.

Z pravoúhlého trojúhelníka:

\[\frac{y(t)}{y_{m}} = \sin{\varphi{}}\] \[y(t) = y_{m}\sin{\varphi{}}\] \[\varphi{} = \omega{}t\] \[y(t) = y_{m}\sin{(\omega{}t)}\]

Něco navíc Rychlost kmitající pružiny je průmětem obvodové rychlosti příslušného rovnoměrného pohybu po kružnici. Nejste-li si problematikou rovnoměrného pohybu po kružnici zcela jistí, můžete nahlédnout do rozšíření této části.

Odvození vztahu pro rychlost kmitů

Obr. 4: Rychlost kmitů
Rychlost kmitající pružiny.

Z pravoúhlého trojúhelníka:

\[\frac{v(t)}{v_{o}} = \cos{\varphi{}}\] \[v(t) = v_{o}\sin{\varphi{}}\] \[v_{o} = \omega{} y_{m}\] \[v(t) = \omega{} y_{m}\cos{(\omega{}t)}\] \[v(t) = \omega{} y(t)\]

Odvození vztahu pro zrychlení kmitů

Obr. 5: Zrychlení kmitů
Zrychlení kmitající pružiny.

Z pravoúhlého trojúhelníka:

\[\frac{a(t)}{a_{d}} = \sin{\varphi{}}\] \[a(t) = a_{d}\sin{\varphi{}}\] \[a_{d} = \omega{}^{2}y_{m}\] \[F = ma = -ky\] \[a(t) = -\omega{}^{2}y_{m}\sin{(\omega{}t)}\] \[a(t) = \omega{}^{2}y(t)\]

Zrychlení harmonických kmitů má vždy opačný směr než jejich výchylka. Zrychlení je totiž přímo úměrné působící síle a ta má opačný směr než okamžitá výchylka.

Podle druhého Newtonova pohybového zákona je součin hmotnosti a zrychlení tělesa dán velikostí výsledné síly. Dosadíme-li do tohoto zákona vztahy získané zrychlení pružiny, zjistíme, že:

\[F = ma = -m\omega{}^{2}y\]

Velikost výsledné síly, která na závaží působí je v každém časovém okamžiku přímo úměrná výchylce, což je definice harmonického kmitání. Závislost výchylky kmitů harmonického oscilátoru na čase lze tedy popsat funkcí sinus. Pro ilustraci se můžeme na kmitající pružinu podívat v různých časových okamžicích:

Obr. 6: Časový rozvoj harmonických kmitů pružiny
Animace analogie kmitání a rovnoměrného pohybu po kružnici.

Zde je sinusová závislost jasně patrná. Harmonické kmitání je z hlediska popisu nejjednodušší. Velikost působící síly závisí na výchylce lineárně, výchylka závisí na sinu času. Ze sinové závislosti na čase vyplývá, že každé harmonické kmitání je zároveň periodické. Opačně tato věta neplatí, ne každé periodické kmity navrací do rovnovážné polohy síla lineárně úměrná výchylce.