Kyvadlo

Obr. 1: Tři ne tak docela matematická kyvadla

Až do této chvíle se tento text důsledně vyhýbal jednomu typickému periodickému pohybu, a sice pohybu kyvadla. Pohyb kyvadla můžeme pozorovat poměrně často, ať už jde o kyvadlo v hodinách, houpačku nebo klíče zavěšené na tkanici. Pohyb kyvadla je zcela jistě periodický. Je také harmonický? Odpověď na tuto otázku není zcela prostá. Prohlédněte si pozorně obrázek 2 a zkuste slovy popsat všechny veličiny na něm znázorněné.

Obr. 2: Matematické kyvadlo

Obrázek znázorňuje takzvané matematické kyvadlo. Matematické kyvadlo je zjednodušeným modelem kyvadla reálného - lano, které drží závaží je neprotažitelné a nehmotné. Na obrázku vidíme kyvadlo délky l v obecné poloze. Jsou zakresleny všechny síly, které na kyvadlo působí - tíhová síla \(\vec{G}\), tahová síla lana \(\vec{T}\) a jejich výslednice \(\vec{F}\), tedy síla, která vrací těleso do rovnovážné polohy.

Výslednice tíhové a tahové síly \(\vec{F}\) má dvě složky, které jsou na sebe kolmé. Síla \(\vec{F_n}\) je normálová, tedy kolmá na trajektorii, je dostředivá a způsobuje to, že závaží na kyvadle zatáčí, mění tedy pouze směr rychlosti. Síla \(\vec{F_t}\) je tečná k trajektorii a mění pouze velikost rychlosti. Právě tato síla nás zajímá.

Chceme-li rozhodnout o harmoničnosti pohybu, zkoumáme závislost návratové síly na výchylce. Jak budeme v tomto případě měřit? Výchylku pro nás bude představovat souřadnice x tělesa, dle obrázku. Dopouštíme se tak určitého zanedbání pohybu kyvadla ve směru kolmém na osu x. Toto můžeme učinit za předpokladu dostatečně malé úhlové výchylky (\(\alpha_{max}\)). Je-li maximální úhlová výchylka dostatečně malá (většinou se uvažuje do pěti stupňů), můžeme provést také následující aproximaci:

\[\sin\alpha = \tan\alpha = \alpha .\]

Tato rovnost ovšem platí, pouze pokud úhel měříme v radiánech. Pro jak malé úhly je tato rovnost splněna, si můžete ověřit na kalkulačce.

Z podobnosti trojúhelníků ABC a AED (věta uu) vyplývá:

\[\sin\alpha = \frac{x}{l} = \frac{F_t}{G}\] \[F_t = \frac{G}{l} x\]

Platí-li naše podmínka malé úhlové výchylky, závisí velikost návratové síly přímo úměrně na výchylce (síla je samozřejmě orientována proti výchylce) a kmity matematického kyvadla jsou tedy harmonické.

Co můžeme říci o periodě kmitů harmonicky kmitajícího kyvadla? Pokud se shodneme, že kmitá harmonicky, můžeme jeho periodu odvodit s pomocí vztahu pro amplitudu zrychlení harmonicky kmitajícího tělesa \(a_{max} = \omega^2 x_{max}\). Podle druhého Newtonova zákona je zrychlení tělesa při neměnné hmotnosti dáno působící silou. Proto můžeme psát:

\[m a_{max} = F_{max},\] \[m \omega^2 x_{max} = m g \frac{g}{l} x_{max},\] \[\omega = \sqrt{\frac{g}{l}},\] \[\frac{2 \pi}{T} = \sqrt{\frac{g}{l}},\] \[T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}.\]

Vidíme, že perioda matematického kyvadla závisí pouze na jeho délce (a na tíhovém zrychlení). Nezávisí vůbec na hmotnosti kyvadla ani na amplitudě jeho výchylky. Toto tvrzení platí, pokud je platná i harmonická aproximace kmitů kyvadla, tedy pro malé výchylky kyvadla. Pokud by tato podmínka splněna nebyla, závisela by perioda kyvu také na amplitudě výchylky, nicméně na hmotnosti závaží by perioda stále nezávisela.

Periodu kyvu kyvadla lze tedy ladit pouze změnou jeho délky. Následující video zachycuje soustavu kyvadel, kde bylo dosaženo zajímavého efektu. Pečlivým nastavením délek závěsů bylo zajištěno, aby první kyvadlo kmitlo patnáctkrát za půl minuty, druhé šestnáctkrát, třetí sedmnáctkrát a tak dále. Jednou za půl minuty tak jsou všechna kyvadla ve fázi (všechna vykonala celistvý počet kyvů), po prvních patnácti sekundách jsou sudá a lichá kyvadla v protifázi.