Odraz a lom

Huygensův princip zavedený v minulé kapitole je silným nástrojem při studiu šíření vlnění v různých situacích. V této kapitole budeme zkoumat, co se stane s vlnou, která narazí na rozhraní dvou různých izotropních prostředí.

V daném izotropním prostředí má vlnění stejnou rychlost šíření ve všech směrech. Nás v tuto chvíli zajímá děj na rozhraní dvou prostředí. Informace o zdroji vlny pro nás nejsou podstatné, proto se můžeme zaměřit na rovinné vlny. Nechť se tedy prostředím 1 danou rychlostí \(v_1\) blíží rovinná vlna k rozhraní s prostředím 2, ve kterém by se táž vlna šířila rychlostí \(v_2\). Co se s vlnou stane?

Obr. 1: Odraz vlnění na pevné překážce

Odraz vlnění

Soustřeďme se nyní jen na tu část vlnění, která neproniká do druhého prostředí a od rozhraní se odráží. Úhel dopadu je úhel, který svírá paprsek dopadající vlny v daném místě s kolmicí na rozhraní dvou prostředí, měří se tedy od kolmice na rozhraní. Vlna, která dopadá kolmo na rozhraní dopadá pod nulovým úhlem dopadu. Zaměřme se na situaci, kdy dopadá rovinná vlna na rozhraní pod úhlem \(\alpha\).

Obr. 2: Odraz vlnění

Situaci v čase \(t_0 = 0\) kdy první vlnoplocha dorazila na rozhraní zachycuje obrázek 2. Bod X se podle Huygensova principu stává zdrojem elementárního vlnění, které se šíří v kulových vlnoplochách dále. Za čas t se tato elementární vlna rozšíří do vzdálenosti \(s = v_1 \cdot t\). V případě bodu Y musí nejdříve vlna urazit vzdálenost s, teprve poté se bod Y stává zdrojem elementárního vlnění, které se stihne rozšířit do vzdálenosti r. Protože je prostředí 1 izotropní, musí platit \(s + r = S\) - libovolný bod téže vlnoplochy urazí za tentýž čas tutéž dráhu.

Obr. 3: Odraz vlnění

Výsledná vlnoplocha bude dána vnější obálkou elementárních vlnoploch (obrázek 3). Co platí pro úhly \(\alpha\) a \(\alpha^\prime\)? Vztah mezi nimi můžeme odvodit z geometrie situace.

Obr. 4: Odvození zákona odrazu

Z obrázku je vidět, že vlnění, které dopadá na rozhraní pod úhlem dopadu \(\alpha\), dospěje nejdříve do bodu A a postupně do dalších bodů až po bod D. Tyto body se podle Huygensova principu stávají zdroji elementárních vlnění, které se šíří zpět do prostředí 1. Dochází tak k odrazu vlnění. Čelo dopadající vlny je představováno úsečkou AB, čelo odražené vlny je představováno úsečkou CD. Ze shodnosti trojúhelníků ABD a CAD vyplývá:

\[\alpha = \alpha^\prime\]

Vidíme, že velikost úhlu odrazu je shodná s velikostí úhlu dopadu. Můžeme tedy formulovat zákon odrazu:

Úhel odrazu je roven úhlu dopadu, přičemž odražené paprsky zůstávají v rovině dopadu.

Lom vlnění

Nyní se soustřeďme na část vlnění, která proniká i do prostředí 2. Výsledek bude silně záviset na tom, jakou rychlostí se vlnění v prostředí 2 šíří. Předpokládejme nyní, že \(v_2 \lt v_1\)

Obr. 5: Lom vlnění

Kdyby se v prostředí 2 šířilo vlnění stejnou rychlostí, pokračovala by vlna dále původním směrem. Protože je ale rychlost ve druhém prostředí menší, rozšíří se vlnění do menší vzdálenosti než za tentýž čas v prostředí 1. Dojde k lomu paprsku směrem ke kolmici. Matematický vztah mezi úhlem dopadu a úhlem lomu můžeme najít s pomocí geometrické úvahy. Obrázek 6 představuje nákres situace.

Obr. 6: Odvození zákona lomu

Vlnění dopadá pod úhlem \(\alpha_1\), nejdříve dorazí do bodu A a postupně do dalších bodů až po bod C. Tyto body se podle Huygensova principu stávají zdroji elementárních vlnění, které se šíří do prostředí 2. Čelo dopadající rovinné vlny (tedy vlnoplocha) je představováno úsečkou AB, čelo lomené vlny je představováno úsečkou CD. Pro poměr sinů úhlu dopadu \(\alpha_1\) a lomu \(\alpha_2\) platí podle obrázku vztah

\[\frac{\sin{\alpha_1}}{\sin{\alpha_2}} = \frac{\frac{|BC|}{|AC|}}{\frac{|AD|}{|AC|}} = \frac{|BC|}{|AD|}.\]

Délka úsečky AD je dráha, kterou v prostředí 2 urazí vlnění za dobu t, úsečka BC představuje dráhu, kterou za tentýž čas urazí vlnění v prostředí 1. Platí tedy \(|BC| = v_1 \cdot t\) a \(|AD| = v_2 \cdot t\). Odtud plyne:

\[\frac{\sin{\alpha_1}}{\sin{\alpha_2}} = \frac{v_1 \cdot t}{v_2 \cdot t} = \frac{v_1}{v_2}.\]

Můžeme tedy formulovat Snellův zákon lomu.

Lomený paprsek zůstává v rovině dopadu, přičemž platí \[\frac{\sin{\alpha_1}}{\sin{\alpha_2}} = \frac{v_1}{v_2}.\]

Odvození zákonů odrazu a lomu z Huygensova principu ilustruje následující aplet.

Aplet

© Walter Fendt, July 9, 2003
© Překlad do češtiny: Miroslav Panoš, Fyzikální kabinet GymKT