Skládání kmitů 2

Kmity blízké frekvence

Při skládání kmitů blízké frekvence pozorujeme vznik rázů, tedy periodického zesilování a zeslabování amplitudy výsledných kmitů. Se snižujícím se rozdílem frekvencí skládaných kmitů se zvětšuje perioda rázů (a zmenšuje jejich frekvence). S rostoucím rozdílem frekvencí přestává být jev pozorovatelný.

Obr. 1: Rázy (\(f_1 = 1,25 f_2\))

Pro jednoduchost složme dva kmitavé pohyby stejných amplitud \(A\) a blízkých úhlových frekvencí \(\omega_{1}, \omega_2\). Výsledná okamžitá výchylka je popsána funkcí \(y = A (\sin\omega_{1}t + \sin\omega_{2}t)\). Součet můžeme provést podle goniometrické identity. Výsledné kmitání je tedy popsáno funkcí:

\[y = 2A \sin{\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}} \cdot \cos{\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}}.\]

Na toto neharmonické kmitání můžeme pohlížet jako na harmonické kmitání s frekvencí danou průměrem frekvencí skládaných kmitů (\(f = \frac{f_1 + f_2}{2}\)) s časově proměnnou amplitudou, která se v čase mění s funkcí kosinus s frekvencí danou vztahem \(f_{mod} = \frac{f_1 - f_2}{2}\). Řekneme, že harmonická složka těchto kmitů je modulována harmonickou funkcí.

Při blízkosti frekvencí skládaných kmitů pozorujeme pěkné rázy. Nic nám ale nebrání sečíst kmity frekvencí ne tak zcela blízkých. Goniometrická identita použitá pro odvození frekvence rázů platí obecně (pro skládané kmity se stejnou amplitudou). Jak se od sebe skládané frekvence vzdalují, bude kosinová obálka sinových kmitů stále méně patrná. Přesáhne-li absolutní hodnota rozdílu \(\frac{f_1 - f_2}{2}\) průměr skládaných frekvencí, a tedy frekvenci výsledných kmitů, nebude již kosinová modulace zřetelná vůbec.

animace

Obr. 2: Rázy (\(f_2 \in \langle 0,75 f_1 ; 1,25 f_1\rangle\))

Jev vzniku rázů a především závislost frekvence modulace jejich amplitudy nachází velké využití při měření frekvencí nebo při ladění hudebních nástrojů.

Skládání kmitů ve 2D

Když jsme odvozovali vztahy popisující harmonický pohyb, využili jsme průmětu rovnoměrného pohybu po kružnici. Při průmětu do osy y pozorujeme harmonické kmity popsané funkcí sinus. Kdybychom se na pohyb po kružnici dívali shora, při průmětu do osy x uvidíme kmity popsané funkcí kosinus (nebo sinus s počáteční fází rovnou \(\frac{\pi}{2}\)). Tuto situaci však můžeme uvažovat i naruby. Složením dvou na sebe kolmých harmonických pohybů, jejichž vzájemný fázový posun je roven \(\frac{\pi}{2}\) a jejichž amplitudy jsou shodné vzniká rovnoměrný pohyb po kružnici.

Nic nám nebrání skládat kmitavé pohyby v ploše nebo prostoru. Poloha v rovině kmitajícího bodu je v čase t dána \([x, y] = [x(t), y(t)]\).

Nejjednodušším případem je složení kmitů stejné amplitudy, frekvence i počáteční fáze. Souřadnice kmitajícího bodu budou v každém okamžiku t \([x(t), y(t)] = [A\sin(\omega t + \varphi), A\sin(\omega t + \varphi)]\), tedy \(x(t) = y(t); \forall t\). Těleso bude kmitat harmonicky v přímce \(y = x\).

animace

Obr. 3: Lissajousův obrazec, \(x(t) = y(t)\)

Budeme-li měnit fázový rozdíl mezi skládanými kmity a jejich amplitudy, bude výsledná trajektorie kmitajícího bodu nabývat tvaru různých převážně eliptických křivek nebo jejich částí.

Složením kmitů rozdílných frekvencí vznikají složitější obrazce nazývané Lissajousovy. Tvar Lissajových obrazců závisí především na poměru frekvencí skládaných kmitů, dále pak na jejich amplitudách a jejich fázovému posunu. Jednoduché obrazce získáme jen ve speciálních případech, kdy jsou frekvence skládaných kmitů v poměru malých celých čísel. Obrázek 4 zachycuje Lissajousův obrazec s poměry frekvencí 3:2.

animace

Obr. 4: Lissajousův obrazec, \(\frac{f_1}{f_2} = \frac{3}{2}\)

Budeme-li Měnit poměr frekvencí tak, že budeme zvětšovat čitatele i jmenovatele, bude výsledný obrazec stále složitější. Obrázek 5 ukazuje obrazec, kde frekvence skládaných kmitů jsou v poměru 15:17. Pokud by poměr skládaných frekvencí nebyl racionálním číslem. na obrázku bychom viděli souvisle vyplněný celý obdélník.
Obr. 5: Lissajousův obrazec, \(\frac{f_1}{f_2} = \frac{15}{17}\)