Stojatá vlna

Pozorujeme vlnění v řadě bodů. K tomuto pozorování můžeme použít náš vlnostroj nebo ještě jednodušší zařízení. Stačí nám gumové lanko (klobouková guma), které uvážeme například ke klice. Volný konec držíme v ruce a rozkmitáme. Pulz se šíří po vlákně (jeho rychlost závisí na napětí gumy), dorazí ke klice a tam se odrazí s opačnou fází. Pokud budeme volným koncem kmitat setrvale, budeme po laně vysílat vlnu. Ta se odrazí na pevném konci, odražená vlna bude mít opačnou fázi a složí se s vlnou příchozí. Vznikne zajímavá situace.

Obr. 1: Stojaté vlny na kytaře (detail uzlů)

V tuto chvíli máme dostatečný matematický aparát, abychom mohli příchozí a odraženou vlnu složit. Vlny mají stejnou vlnovou délku, frekvenci i amplitudu. Dopadající vlnu můžeme popsat rovnicí \(u_d (x,t) = A \sin{2\pi(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda})}\), odražená vlna se šíří opačným směrem, je tedy popsána rovnicí \(u_o (x,t) = A \sin{2\pi(\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda})}\). Výsledná vlna vznikne superpozicí těchto dílčích vln.

\[u (x,t) = u_d (x,t) + u_o (x,t)\] \[u (x,t) = A \sin{2\pi(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda})} + A \sin{2\pi(\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda})}\] \[u (x,t) = 2A \sin{2\pi(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} + \frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda})} \cos{2\pi(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} - \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda})}\] \[u (x,t) = 2A \cos{2\pi\frac{2x}{\lambda}} \sin{2\pi\frac{2t}{T}}\] \[u (x,t) = 2A \cos{2\pi\frac{x}{\frac{\lambda}{2}}} \sin{2\pi\frac{t}{\frac{T}{2}}}\]

Vidíme, že výchylka kmitů závisí na čase, ovšem amplituda těchto kmitů je funkcí polohy. Konkrétně budou některá místa kmitat s velkou amplitudou, zatímco některá místa budou v klidu. Místa v klidu od sebe budou pravidelně vzdálena a tato vzdálenost bude stejná jako pravidelný rozestup míst kmitajících s největší amplitudou. Tuto vzdálenost nazveme vlnovou délku stojaté vlny, všimněte si, že je číselně rovna polovině vlnové délky skládaných kmitů. Všechny body kmitají se stejnou fází. Superponovali jsme dvě postupné vlny s opačnou fází šířící se opačným směrem a dali jsme tak vzniknout stojatému vlnění. Ta místa, která kmitají s největší amplitudou, nazveme kmitny, místa, která zůstávají v klidu, nazveme uzly.

animace

Obr. 2: Stojatá vlna se dvěma pevnými konci

Kolik má tato vlna uzlů a kolik má kmiten?

Obdobný pokus můžeme vyzkoušet i s odrazem na volném konci. V takovém případě stačí zavěsit lano třeba z okna (stačí mít k dispozici alespoň dva metry) a rozkmitávat jeden jeho konec. Vznik stojatého vlnění na laně s jedním volným koncem vyžaduje poněkud větší šikovnost než v případě lana s oběma pevnými konci (doporučujeme zkoušet lano spíše roztočit). Vznik stojatého vlnění superpozicí dvou vln detailně popisuje následující aplet (potřebuje funkční javu).

Aplet

© Walter Fendt, July 9, 2003
© Překlad do češtiny: Miroslav Panoš, Fyzikální kabinet GymKT