Otázky k části Kmitové módy

Úkol 1

Na struně délky 85cm je vybuzena stojatá vlna o frekvenci \(150 Hz\), která má tři uzly. Určete rychlost šíření vlny ve struně.

Odpověď

Dva uzly musí být na koncích struny, třetí uzel je tedy nutně uprostřed struny. Z toho plyne, že vlnová délka tohoto módu je rovna délce struny, pak můžeme počítat \(v = l f\).


Úkol 2

Nakreslete třetí mód tyče upevněné na obou koncích. Kolik má kmiten a kolik uzlů? Která místa tyče kmitají s největší energií? Poté proveďte tentýž úkol pro tyč upevněnou pouze na jednom konci.

Odpověď

S největší energií kmitají kmitny. Počet kmiten a uzlů vidíte na následujícím obrázku.


Úkol 3

Struna je upevněna mezi dvěma pevnými konci vzdálenými od sebe o délku l. Které módy lze vybudit, vynutíme-li v jedné třetině struny uzel? Na struně pak vybudíme pátý kmitový mód. Je v místě vzdáleném o \(\frac{2}{5} l\) od levého konce kmitna nebo uzel?

Odpověď

Vynutíme-li v jedné třetině uzel, pak může struna, jejíž základní frekvence byla f, kmitat s módy 3f, 6f, 9f... Jak vypadá rozložení uzlů pátého módu, můžeme odpočítat. První mód má dva uzly na koncích a jednu kmitnu uprostřed. Druhý má uzly na koncích a uprostřed, tedy v polovinách délky struny a kmitny ve čtvrtinách. Třetí mód má uzly ve třetinách a kmitny v šestinách délky. Ve druhé pětině délky struny bude tedy při pátém kmitovém módu uzel.


Úkol 4

Struna napnutá mezi pevnými body vzdálenými od sebe 75cm vykazuje kmitové módy o frekvencích 420Hz a 315Hz. Mezi nimi jiný mód neleží. Jakou má struna základní frekvenci? Jakou rychlostí se v ní šíří vlnění?

Odpověď

Známe frekvence dvou po sobě jdoucích módu. Má-li základní mód frekvenci f, pak frekvence n-tých po sobě jdoucích módů budou \(nf\) a \((n+1)f\). Napíšeme rozdíl frekvencí těchto dvou módů: \(f_{n+1} - f_n = (n + 1)f - nf = f\). Máme tedy frekvenci základního tónu, jehož vlnová délka je rovna dvojnásobkem délky struny. Můžeme spočítat rychlost šíření vlny na struně: \(v = 2 l f\).