Otázky k části Skládání kmitů

Úkol 1

Obrázky A až D zachycují skládání kmitů. Modré a červené kmity se skládají v zelené. V jakém poměru jsou periody a frekvence skládaných kmitů? Jaká je periody výsledných kmitů?

Obrázek A
Obrázek B
Obrázek C
Obrázek D

Odpověď

Obr.\(T_{modrá} : T_{červené}\)\(T_{modrá} : T_{zelená}\)\(T_{červená} : T_{zelená}\)
A1:21:12:1
B1:31:13:1
C2:32:13:1
D2:52:15:1

Úkol 2

Graficky proveďte superpozici kmitů popsaných následujícími rovnicemi: \(y_1 = A \sin{(\omega t)}\) a \(y_2 = A \sin{(2\omega t)}\). Hodnoty veličin A a \(\omega\) vhodně zvolte.

Odpověď


Úkol 3

Napište rovnici popisující kmity vzniklé složením kmitů popsaných rovnicemi \(y_1 = A \sin{(\omega t)}\) a \(y_2 = A \sin{(2\omega t + \varphi)}\). Proveďte nejprve obecně, poté s hodnotami \(A = 23cm\), \(\omega = 7\pi\) a \(\varphi = \frac{5\pi}{6}\).

Odpověď

\[y = A \sin{\omega t} + A \sin{(\omega t + \varphi)}\] \[y = 2A \cos{\frac{\varphi}{2}}\sin{\frac{2\omega t + \varphi}{2}}\]

Dosazení konkrétních hodnot proveďte sami.


Úkol 4

Frekvence kmitů 1 je trojnásobkem frekvence kmitů 2. Amplituda obou dílčích kmitů je totožná, počáteční fáze obou kmitů je nulová. Kdy nejdřív bude výsledná okamžitá výchylka nulová a v jakých bude maximální?

Odpověď

První kmity jsou popsány rovnicí \(y_1 = A \sin{2 \pi f t}\), druhé kmity rovnicí \(y_2 = A \sin{2 \pi 3 f t}\). Hledáme čas t, kdy budou kmity ve fázi (maximální výchylka výsledných kmitů) a v protifázi (nulová výchylka výsledných kmitů).


Úkol 5

Dílčí kmity mají totožnou frekvenci f i amplitudu A. Jaký musí být jejich fázový rozdíl, aby amplituda výsledných kmitů byla rovna:

  1. \(\frac{3}{2} A\)
  2. \(\frac{1}{2} A\)

Odpověď

Amplituda složených kmitů je dána vztahem \(2A \cos{\varphi}\), kde \(\varphi\) je fázový rozdíl kmitů. Hledáme řešení rovnic:

  1. \(\frac{3}{2} A = 2A \cos{\varphi}\)
  2. \(\frac{1}{2} A = 2A \cos{\varphi}\)