Vlnoplochy

Vraťme se nyní zpět k postupným vlnám. Dosud jsme se zaměřovali na vlny šířící se v řadě bodů, zatímco většinou se setkáváme s vlnami, které se šíří v rámci nějaké plochy (vlny na vodní hladině) nebo prostorem (tlaková vlna, zvuk, signál mobilní sítě). V této kapitole se podíváme blíže na způsob, jakým se vlny šíří prostředím.

Obr. 1: Kruhy na vodní hladině [zdroj]

Představte si, že hodíte kámen do vody. Nakreslete co se stane. Nejspíš nakreslíte soustředné kružnice. Co tyto kružnice znamenají? Tyto křivky spojují některá místa, která mají stejnou výchylku. Zároveň představují možnost jak znázornit příčné vlnění šířící se plochou, tedy trojrozměrnou situaci.

Zaměřme se na prostředí, ve kterém se vlnění šíří ve všech směrech stejnou rychlostí. Takové prostředí nazýváme izotropní. Prozatím budeme studovat vlnění šířící se po ploše, například vlny na vodní hladině. Za dobu t se vlnění rozšíří od zdroje Z do vzdálenosti \(s = v\cdot t\). Protože se vlnění šíří v izotropním prostředí šíří se do všech směrů stejnou rychlosti. Body vzdálené od zdroje vlnění Z právě o vzdálenost s, tedy ležící na kružnici se středem v Z a poloměrem s, tak budou mít stejnou okamžitou výchylku a budou kmitat se stejnou fází.

Podobnou úvahu bychom mohli provést s vlněním šířícím se v izotropním prostoru. Body, do kterých se vlnění rozšíří za dobu t, leží na povrchu kulové plochy se středem v místě zdroje vlnění a poloměrem \(s = v\cdot t\). Tyto body mají stejnou výchylku, kmitají s toutéž fází a vlnění se do nich rozšířilo za tutéž dobu. Množinu takových bodů nazýváme vlnoplocha.

Vlnoplochou nazveme množinu bodů, do nichž se vlnění rozšíří za daný čas t. Směr šíření vlnění v daném místě určuje kolmice k vlnoploše, kterou nazveme paprskem.

Ve velké vzdálenosti od zdroje vlnění je možné zanedbat rozměry zdroje a považovat ho tak za bodový zdroj. Kruhové (kulové) vlnoplochy mají velký poloměr a jejich malou část tak lze považovat za rovinnou vlnoplochu. Pokuste se určit, kde je na obrázku 2 zdroj modrého vlnění a kde je zdroj červeného vlnění.

Obr. 2: Kulové a rovinné vlnoplochy

Vlnoplochu můžeme uvažovat u jakékoliv vlny. Díky vlnoplochám můžeme vlnění v daném čase nakreslit a mít tak názornou představu o rozložení výchylky v prostoru.

Huygensův princip

Zkoumáme-li, jak se daným prostředím šíří nějaké vlnění, nemusíme mít dokonce žádnou informaci o tom, kde je jeho zdroj a jak se chová. K předpovědi tvaru další vlnoplochy nám stačí znát vlastnosti daného vlnění a některou jeho vlnoplochu.

Tento postup objevil nizozemský matematik Christian Huygens (výslovnost). Huygensův princip zpřesněný Fresnelem můžeme formulovat takto:

Každý bod vlnoplochy, do něhož postupné vlnění dospělo v určitém okamžiku, můžeme pokládat za zdroj elementárního vlnění, které se z něho šíří v elementárních vlnoplochách. Celková vlnoplocha v dalším časovém okamžiku je vnější obálka všech elementárních vlnoploch a kolmice na ni jednoznačně určuje směr šíření.

Tuto poněkud složitou formulaci se pokusíme ilustrovat obrázkem, ve kterém opět předpokládáme izotropní prostředí, elementární vlnoplochy jsou tedy kružnice.

Obr. 2: Huygensův princip

Elementární vlnoplochy spolu navzájem interferují. Tato interference je destruktivní ve všech bodech mimo vnější obálku.

Huygensův (nebo též Huygensův-Fresnelův) princip nám umožňuje zkoumat šíření vlnění v libovolných situacích. S jeho pomocí lze odvodit další důležité zákony vztahující se na vlnění nebo vysvětlit další jevy s vlněním spjaté. Následující kapitoly toho budou důkazem.