Hudba

Mechanické vlnění nás obklopuje po celý den. Zejména v podobě zvuku. Netrvalo dlouho, a člověk se naučil ovládnout zvuk natolik, aby mu jeho produkce přivodila libé pocity. Nejstarším hudebním nástrojem je lidské tělo. Můžeme zpívat, tleskat a vytvářet další zvuky údery na hrudník do stehen a podobně. Dalším způsobem jak vytvořit zvuk je udeřit něčím o něco. Tak vznikly první bicí nástroje. A velmi záhy také potřeba, nějak nástroje ladit a vylepšovat.

Obr. 1: Notový zápis renesančního skladatele Palestriny

Všichni nejspíš intuitivně chápeme pojem výška tónu. Dokážeme říci, který tón je vyšší, který nižší, které dva jsou stejné. Ale jak to poznáme? Výška tónu je dána jeho frekvencí, tedy frekvencí příčného mechanického vlněné, které dopadá do našich uší. Tón s vyšší frekvencí vnímáme jako vyšší, tón s nižší frekvencí vnímáme jako nižší.

Otázka

Jak je to s vlnovou délkou?

Jak frekvence tónu roste, dostaneme se do situace, že nám vyšší tón zní překvapivě podobně jako tón základní. Dosáhli jsme hudebního intervalu oktáva. Tón o oktávu vyšší vůči základnímu má dvojnásobnou frekvenci než tón základní. Měl-li tón A frekvenci 220Hz, pak tón o frekvenci 440Hz bude o oktávu vyšší a označíme ho také jako a (velikost písmen zde naznačuje, že se nejedná o tentýž tón).

Frekvencí je tedy dána výška tónu. Jak ale poznáme, zda daný tón vydává klarinet, trumpeta, akordeon nebo naše maminka? To poznáme díky barvě tónu. Pokud se vrátíme ke kapitole Kmitové módy a jejímu rozšíření, tvrdili jsme, že každé reálné těleso kmitá s více módy zároveň. Aplikujeme-li toto tvrzení na nějaký zdroj zvuku, pak ten také kmitá nejen se základní frekvencí, ale i s frekvencemi, které jsou celistvými násobky základní frekvence. Právě zastoupení těchto vyšších harmonických frekvencí vytváří barvu tónu.

Ladění

Obr. 2: Klaviatura koncertního křídla

Obrázek 2 zachycuje klaviaturu koncertního křídla. Jak je možné, že některé černé klávesy chybí? Je toto koncertní křídlo v pořádku, nebo je něco špatně?

Vraťme se na chvíli k hudebnímu intervalu oktáva. Dva tóny jsou v intervalu oktávy, pokud jsou jejich frekvence v poměru 1:2. Experimentováním s monochordem (nástroj s jednou strunou, již lze rozdělit jezdcem na dva znějící úseky) Pythagoras zjistil, že příjemně zní také tóny, které mají poměr frekvencí 3:4, tento interval nazveme kvartou, a 3:2, tento interval nazveme kvintou.

Evropská hudba dále vyžaduje, aby interval jedné oktávy obsahoval dvanáct půltónů. Stupnici C dur známe všichni. Je to posloupnost osmi celých tónu C - D - E - F - G - A - H - C. Všechny tyto tóny jsou z hlediska hudební teorie celé, ale aby stupnice zněla durově (vesele, tvrdě), musí být mezi třetím a čtvrtým stupněm a mezi sedmým a osmým stupněm interval půltónu (tedy malá sekunda).

Budeme-li zvyšovat tóny stupnice C dur o půltón, získáme tóny Cis, Dis, ale zvýšíme-li o půltón tón E, získáme tón F. Mezi tóny E a F je interval jednoho půltónu. Máme tedy 8 celých tónů (bílé klapky) do jedné oktávy. Do jedné oktávy se má vejít dvanáct půltónů, na tóny s křížkem (černé klapky) nám zbývá už jen 6 půltónu. Proto v klaviatuře chybí v každé oktávě dvě černé klapky. Půltón, který by měly hrát totiž mezi těmi dvěma bílými klapkami, které spolu sousedí, už je.

Jak ale naladit hudební nástroj, abychom na něj mohli zahrát jakoukoliv písničku. Naladit oktávu nebude problém. Víme že její frekvence má být dvojnásobná, než je frekvence základního tónu. Vynutíme-li na základní struně druhý harmonický mód, slyšíme ten tón, který určuje výšku oktávy. Ale co s ostatními tóny? Má-li jich být do oktávy dvanáct, pak nejjednodušší bude rozdělit oktávu na dvanáct stejnoměrných dílků. Každé dva sousední dílky (půltóny) budou mít poměr frekvencí \(\sqrt[12]{2}\).

Frekvence kvinty bude tedy \((\sqrt[12]{2})^7\) násobkem frekvence základního tónu (na sedmou protože kvinta sestává ze sedmi půltónu). Pokud toto číslo vyčíslíme, dojdeme ke koeficientu 1,498. Pythagorem definovaná kvinta je \(\frac{3}{2}\) násobek základní frekvence, tedy koeficient 1,5. Naše matematicky definované ladění se tedy od toho Pythagorova příliš neliší. Toto ladění se v hudební teorii nazývá rovnoměrně temperované. Na rozdíl od ladění přirozeného (pythagorejského) poměr sousedních půltónů je v temperovaném ladění konstantní. V důsledku toho nástroj naladěný do temperovaného ladění může hrát v libovolné tónině, zatímco přirozeně laděný nástroj může hrát bez újmy na celkovém dojmu hrát pouze v tónině, do které je naladěn.